بازی رقابتی ریاضی 2013-2014

سوال بازی :
بازی رقابتی ریاضی سال 2013-2014، به طور مشترک توسط فدراسیون بازی‌های ریاضی فرانسه FFJM و انجمن محاسبات ریاضیSA) SCM) برگزار خواهد شد.جایزه این مسابقه 2000 یورو است.
موضوع امسال این مسابقه : بررسی یک فرآیند صنعتی است. برای تشریح کامل بازی لطفا بروشور را دانلود کنید.
آخرین مهلت ارسال پاسخ 30 آوریل 2014 است. این مسابقه برای پنجمین سال برگزار می‌شود.

•  2008-2009 مفهوم شبکه حمل و نقل اتوبوس در یک شهر با همکاری حمل و نقل Veolia
•  2009-2010 مفهوم شبکه توزیع برق، با همکاری RTE (Réseau de Transport d'Electricité)
•  2011-2012جستجو برای بهترین برنامه سفر با یک ماشین، در همکاری با روزنامه Auto Plus
•  2012-2013 مبارزه با آتش سوزی جنگل در سیبری، در همکاری با سازمان آتش نشانی پاریس

موضوعات مسابقه در رابطه با یافتن راه‌حل برای معضلات در زندگی واقعی است که حل آن بر اساس مفاهیم ریاضی ساده خواهد بود. با این حال، حل سوالات به ماه‌ها کار و تلاش نیاز دارد.
شرکت کنندگان می‌توانند بصورت انفرادی و یا تیمی در مسابقه شرکت کنند که می‌تواند شامل دانش‌آموزان دبیرستان و دانشجویان باشد.
جوایز بصورت :

• برنده اول بخش انفرادی : 500 یورو
• برنده دوم بخش انفرادی : 200 یورو
• برنده سوم بخش انفرادی : 100 یورو
• برنده اول بخش تیمی : 500 یورو
• برنده دوم بخش تیمی : 200 یورو
• برنده سوم بخش تیمی : 100 یورو

کل جایزه 2000 یورو است. بهترین راه حل و پاسخ در وبسایت FFJM و SCM منتشر خواهد شد. اعلام رسمی نتایج و برگزاری مراسم اهدا جوایز در سالن نمایشگاه فرهنگ و بازی ریاضی در پاریس در ماه می هر سال برگزار می‌شود.

 توضیح کلی موضوع مسابقه :
در نگرش کلی، مسئله به "بررسی کیفیت" یک فرایند صنعتی، که تولیدات موردنظر در این‌جا سیلندرهای فلزی است، می پردازد.
در فرایند تولید صنعتی برخی ویژگی‌ها و الزامات کیفیتی (استاندارد) وجود دارد که توسط اداره کیفیت، استاندارد و ایمنی تعیین می‌شود و ماهیت این ویژگی‌ها احتمالاتی است. برای بررسی ویژگی‌های تولیدات نمی‌توان تمام قطعات را بررسی نمود زیرا هم هزینه بر است و هم ماهیت مخربی دارد، بدین مفهوم که در آزمایش و بررسی تولیدات باید آن‌ها را استفاده نموده و بنابراین از بین می‌روند.
بنابراین نمونه‌ای لازم است که از هر انباشته تعدادی را به تصادف انتخاب و بررسی می‌نماید. اغلب شرکت‌های صنعتی ویژگی‌های کیفیتی (استاندارد) مخصوص به خودشان را دارند و آنها به دنبال دستیابی به کیفیت بالا همراه با ثبات کیفیتی تعریف شده شان هستند. بنابراین، هر شرکت فرآیند آزمایش و بررسی تولیداتش را تعریف می‌کند که البته سختگیرانه‌تر از حدود استاندارد تعریف شده توسط اداره استاندارد و ایمنی است، زیرا تولیدکنندگان از رد کیفیتی تولیداتشان متحمل خسارت زیادی می‌شوند.

توصیف فنی فرآیند :
تولیدات یک شرکت صنعتی دیسک، ساخته شده از فولاد ضد زنگ است. این دیسک‌ها در محیط‌های حساس استفاده می‌شوند، به عنوان مثال در نیروگاه‌های برق و اداره استاندارد می‌خواهند مطمئن شوند که دیسک‌های تولیدی ثابت، با کیفیت و قابل قبول باشند.
به تولیدات شرکت فولاد آستنیکی ضد زنگ یا بطور مخفف ASS گفته می‌شود.
این قطعات شامل 18 درصد کروم و 8 درصد نیکل محاسبه شده نسبت به کل جرم آلیاژ استاندارد است.304ASS
دیسک با شعاع 0.5 متر و 0.5 متر ارتفاع است. هر دیسک باید از آلیاژ همگن ساخته شده باشد، به این معنی که، نسبت فولاد، کروم و نیکل در همه جا در روی دیسک یکنواخت و در همه دیسک‌ها یکسان باشد.
ویژگی‌های مد نظر اداره استاندارد بصورت زیر است :

•  در تمام موارد (همواره) :

کروم – بین % 16.95 و % 19.10
نیکل – بین % 6.94 و % 9.10

•  % 95 درصد مواقع :

کروم – بین % 17 و % 19
نیکل – بین % 7 و % 9

شرکت‌ها بدنبال پیروی از این ویژگی‌ها و حتی فراتر از آن یعنی شرایط سختگیرانه‌تری برای خود هستند که این موضوع در میان تولید کنندگان به دو دلیل زیر رایج است :

•  تولید کننده می‌داند که این قوانین و مقررات استاندارد در حال تغییر است، بنابراین آنها خواهان سبقت گرفتن از شرایس ناپایدار هستند.
•  صنایع می‌خواهند کالاها با کیفیت خوب ارائه دهند ولی مهم‌تر و بطور خاص‌تر به دنبال تثبیت کیفیت هستند.

بنابراین شرکت‌ها قوانین و ویژگی‌های کیفی خود را بصورت زیر تعریف می‌کند:

•  % 99 مواقع :

کروم – بین % 16.96 و % 19
نیکل – بین % 6.95 و % 9.05

•  % 95 مواقع :

کروم – بین % 17.1 و % 18.9
نیکل – بین % 7.1 و % 8.9

مجزا سازی سیلندر :
به منظور آزمایش و بررسی کیفتی هر سیلندر به قطعات (واحدهای) کوچک تقسیم می‌شود :

هر واحد 0.1m x 0.1 m x 0.1 m است. برای کل ارتفاع 0.5 متر سیلندر 5 لایه با ضخامت 0.1 متر وجود دارد. هر لایه دیسک شامل 80 واحد است. طبق شکل بالا.
اگر هر مربع در شکل بالا (واحد) 0.1 متر باشد، قطعاتی که می‌مانند باید در شرایط زیر صادق باشند.

که در حقیقت مرکز واحدهایی است که در روی دیسک قرار دارد. بنابراین یک سیلندر شامل 400 واحد خواهد بود که توسط شرکت و اداره استاندارد پذیرفته می‌شود و هر واحد ( سلول) بعنوان یک واحد برای بررسی و آزمایش درنظر گرفته می‌شود و فرض می‌شود که همگن باشد.

نمایش ریاضی مسئله:
این لایه‌ها از 0 (پایین، ارتفاع 0) تا 4 (بالا) شماره گذاری شده‌اند. هر واحد 0.1 متر است. هر واحد بوسیله مختصات گوشه جنوب غرب مکانش شماره‌گذاری می‌شود. گر (c1,c2,c3) مختصات مرکز واحد باشد، مختصات مرکز A که واحد را تعریف می‌کند عبارتست از :
(c1-1/2,c2-1/2,c3-1/2)

قوانین تولید و قوانین آزمایش :
شرکت 10000 کالا (سیلندر) تولید می‌کند. 1000 سیلندر در روز برای 10 روز

آزمایش و بررسی مسئولین استاندارد :
مسئولین اداره استاندارد 100 عدد سیلندر بطور تصادفی (قانون یکنواخت) را انتخاب می‌کند و در هر سیلندر 10 واحد بطور تصادفی آزمایش می‌کنند. با توجه به ویژگی‌های تعریف شده در بالا، 1000 واحد آزمایش و بررسی می‌شوند. برای مثال %95 مواقع بدین معنی‌ است که حداقل 950 واحد باید در شرایط صادق باشند.

آزمایش و بررسی کیفیتی شرکت :
شرکت دو دسته آزمایش انجام می‌دهد :

• آزمایش غیر مخرب- هر روز 10 عدد سیلندر را به تصادف انتخاب و دیسک‌های بالا و پایین آن (سطوح) بصورت الکترونیکی بررسی می‌شود. بدین‌ترتیب فقط 2 * 80 واحد بررسی شده است. 10 واحد به تصادف از بین 80 واحد بالا و 10 واحد از 80 واحد پایین انتخاب می‌شود. بدین ترتیب 20 واحد توسط فرآیندی آزمایش می‌شود که به سیلندر صدمه نزند. شرکت به طور کلی 2000 واحد را مورد آزمایش قرار می‌دهد. سپس این سیلندرهای آزمایش شده به تولید باز می‌گردد.
• آزمایش مخرب – هر روز 10 سیلندر به تصادف انتخاب می‌شود و به واحدهایی تجزیه می‌شود. در هر سیلندر 20 واحد به تصادف انتخاب و آزمایش می‌شود. با توجه به این‌که فرآیند تولید 10 روز طول می‌کشد، جمعا 2000 واحد مورد آزمایش و بررسی قرار می‌گیرد.

آزمایش‌ها و بررسی‌های تولید کننده از کیفیت تولیداتش زودتر از آزمایش‌های مقامات اداره استانداردصورت می‌گیرد. مقامات اداره نتایجی را که تولیدکننده از انجام آزمایشاتش گرفته است را نمی‌داند. بعد از اتمام عملیات آزمایش توسط شرکت، سیلندرهای سالم به تولید بازگشته و سیلندرهای خراب جایگزین می‌شوند. بنابراین مقامات اداره استاندارد تمامی 10000 سیلندر را در اختیار دارند.

جریمه و مجازات :
در هر مورد که مقامات اداره استاندارد مواردی (سیلندرهایی) را که با قوانین استاندارد مطابقت ندارد را می‌یابند، شرکت باید جریمه‌ای به شرح زیر را پرداخت کند.

•  اگر واحدی پیدا شد که میزان کروم آن بین %16.95 و %19.10 نبود و یا میزان نیکل آن بین %6.94 و %9.10 نباشد، شرکت باید جریمه‌ای معادل 1 میلیون یورو بابت هر واحد بپردازد.
•  اگر تعداد کل واحدها در بین 1000 واحد بررسی شده و دارای میزان کروم بین %17 تا % 19 درصد و میزان نیکل بین %7 تا %9، از 950 عدد کمتر باشد، باید شرکت دوباره مبلغ 1 میلیون یورو جریمه بپردازد.

نتایج آزمایشات بدست آمده توسط شرکت :
نتایج در فایل اکسل آمده است data_mathematical_game_2013_2014.xls
sheets(2): non-destructive testing
sheets(3): destructive testing
http://scmsa.eu/archives/data_mathematical_game_2013_2014.xls
بر اساس این اطلاعات، از نظر شرکت نتایج حاصل شده رضایت بخش است.

سوال : به نظر شما جریمه مورد انتظاری (امید ریاضی در قوانین احتمال) که این شرکت باید بپردازند، چقدر است؟ تذکر : در یک فرآیند تولید، نه واحدهای یک کالا و نه کالاهای تولید شده در یک روز، مستقل نیستند. تفاوت ها در ترکیب می‌تواند ناشی از تفاوت کوچک اولیه در نسبت هر فلز باشد و یا در اثر تفاوت‌های کوچک در روش‌های تولید متفاوت به عنوان مثال، گرمایش و سرمایش مختلف

مسابقه روز اول نوامبر 2013 شروع و تا 30 آوریل 2014 به پایان خواهد رسید. جوایز در ماه می 2014 در سالن ریاضیات و بازی شهر پاریس اهدا خواهد شد. شرکت کنندگان باید راه‌حل و پاسخ‌های خود را در فرمت pdf و به زبان انگلیسی و یا فرانسه تا قبل از 30 آوریل 2014 به آدرس ایمیل [e-mail] ارسال کنند. هیچ نیازی به ثبت‌نام اولیه نخواهد بود

منبع:خانه ریاضیات اصفهان